7.2 Ejemplos:

 7.2.1) Por Producto:

7.2.2) Por potencia:

7.2.3 Por Cadena:

7.2.4) Por Cociente:

7.2.5) Por Raíz: 

7.2.6)Por Límites:

Ver Archivo Aquí:

7.Derivadas

7.1.1) Definición:

Es la medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente.

La derivada de una función "f" en un punto "x" se denomina como "f'(x). La función cuyo valor en cada punto "x" es esta derivada es la llamada función derivada de "f", denotada por f´.

Vídeo de curso explicación

7.1.2) Historia de las Derivadas:

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

§  El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)

§  El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Explicación de la Historia

7.1.3) Matemáticos y físicos:

·        Isaac Newton: (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de marzo de 1727 JU; 4 de enero de 1643 GR – 31 de marzo de 1727 GR) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

 ·        Gottfried Leibniz: (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces.

6.3Evaluación sobre Límites

6.3.1Evaluación:

Evaluación

6.2 Ejemplo de limites

6.2.1  Factor común:

Aquí

6.1 Límites

6.1.1 Definición de límites:

Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o  función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Vídeo:

6.1.2Historia de los límites:

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

6.1.3Primeros hablantes de límites:

1. Bernard Bolzano: La notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano en 1817 ademas que introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.((actual República Checa), 5 de octubre de 1781 – 18 de diciembre de 1848.

2. Augustin Louis Cauchy: (París, 21 de agosto de 1789 - 23 de mayo de 1857). expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemático.

3. Karl Weierstrass: (Alemania, 31 de octubre de 1815 - 19 de febrero de 1897). La primera presentación técnica hecha ante el publico fue por Weierstrass en los 1850 y 1860, y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

4. Godfrey Harold Hardy: (1877-1947) fue un matemático británico. La notación de escritura usando la abreviatura Lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

4.8 Triángulo Obtusángulo

Triangulo Obtusángulo

Un triángulo que tiene un ángulo mayor de 90°.

4.7 Triángulo Acutángulo

Triangulo Acutángulo

Un triángulo que tiene todos sus ángulos menores a 90° (90° se llama ángulo recto)

4.6 Triángulo Rectángulo

Triangulo Rectángulo

En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados. Las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo es la base de la trigonometría. En particular, en un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras.

4.4 Triángulo Isósceles

Triangulo Isósceles

Un triángulo con dos lados iguales.

Los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales.

Ver

4.2 Teoremas de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y la medida de la hipotenusa es, se establece que:

c2 = a2 + b2 

Situación de problema:
Una escalera de 10 mts de longitud esta apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 mts de la pared. ¿Que altura alcanza la escalera sobre la pared?

Solución:

c²=a²+b²

c²=6²+10²

c²=36+100

c²=36+100

c²=136

c=11.6mts

4.5 Triángulo Escaleno

Triangulo escaleno

Un triángulo con todos los lados de diferentes longitudes.

Ningún lado es igual a otro ni ningún ángulo es igual a otro.

4.3 Triángulo Equilátero

Triangulo Equilátero

En geometría, un triángulo equilátero, es un triángulo con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°. Un triángulo equilátero es un polígono regular; es un caso especial de triángulo isósceles.

3.1 Definición de Polígono

Polígono

En geometría, un polígono es una figura plana que está limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo.

Figura Hecha en clase:

Archivo en Excel en el puede ver las áreas y perímetros

3.3 Nombres de Algunos Polígonos

Clases de polígonos.

  Los polígonos se clasifican según tres criterios:

        Por la igualdad o desigualdad de lados:

Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;

Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta.

 Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:

Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.

Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.

Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.

Hexágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.

Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7 ángulos.

Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.

Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.

Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.

Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.

Dodecágonos — los que tienen 12 lados y 12 ángulos.

Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.

Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales:

Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetría

Polígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría

3.2 Tipos de Polígonos

                    Triángulo

Rectángulo

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

4.1 Definición de triángulo

Triangulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

2.4 Recta Paralela y Recta Perpendicular

Recta paralela

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas Perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

2.3 Mediatriz y Bisectriz

Mediatriz:

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.

2.2 Ángulos y clases de Ángulos.

Ángulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

2.1 Punto, Recta, Semirrecta Y Segmento.

Punto

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una figura geométrica a dimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

Recta

La recta o línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Semirrecta

Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.

Segmento

Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados extremos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

1.3 Definición de Geometría

Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, poli topos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros...)

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

1.2 Grandes Físicos, Filósofos y Matemáticos

Grandes Físicos

Albert Einstein

(1879-1955) Científico estadounidense de origen alemán. Está considerado generalmente como el físico más importante de nuestro siglo, y por muchos físicos como el mayor científico de todos los que han existido.

Isaac Newton

Científico inglés (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727). Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la investigación en Física y Matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo xx; por entonces ya había obtenido una cátedra en su universidad (1669).

Galileo Galilei

(Pisa, actual Italia, 1564-Arcetri, id., 1642) Físico y astrónomo italiano.

Nicolás Copernico

(Torun, actual Polonia, 1473-Frauenburg, id., 1543) Astrónomo polaco.

Johannes Kepler

(Würtemburg, actual Alemania, 1571-Ratisbona, id., 1630) Astrónomo, matemático y físico alemán.

Grandes Filósofos

Socrates

Filósofo griego. Su vida es un auténtico misterio. En él todo parece de caricatura. Iba descalzo por la ciudad de Atenas. A veces, cuando recomendaba a los jóvenes adolescentes que fueran limpios y elegantes, el aparecía sucio. Era casi un mendigo. Su primer enigma es, pues, saber de qué vivía. Su padre fue escultor y su madre comadrona. No se conoce bien si se casó una o dos veces.

Platón

Filósofo griego. Nos han llegado escasas noticias de su vida. Nació en la época de la democracia de Pericles. Perteneció a una familia de la aristocracia, de gran influencia dentro de la oligarquía revolucionaria. Por parte de su padre, es posible que fuera descendiente de Codro, el último rey de Atenas.

Aristóteles

(Estagira, 384 - Calcis, 322, a. C.) Filósofo griego. Junto con Platón, el más importante de la Antigüedad y, posiblemente, el de mayor influencia en la posteridad.

Grandes Matemáticos

A: Aristóteles, Arquímedes	B: Bernoulli, Bloglie, Borh, Boyle
C: Cantor, Copérnico, Coulomb	D: Descartes
E: Einstein, Euclides, Euler	F: Fermat
G: Galileo, Gauss, Gödel	L: Laplace, Leibniz, Leonardo
M: Morgan	N: Newton
P: Pascal, Pitágoras, Poincaré, Poisson	R: Ruffini
T: Tales de Mileto, Torricelli	W: Wittgestein